3037.19 - Metrisk rúm

3037.19

Metrisk rúm

7,5

Støddfrøði 1 (skeiðsnummar: 3103) og støddfrøði 2 (skeiðsnummar: 3132).

At læra um teoriina um metrisk rúm sum ein generel teoretisk ramma fyri millum annað ta støddfrøðigreining, ið byrjaði í støddfrøði 1 (skeiðsnummar 3103) og varð víðariførd í støddfrøði 2 (skeiðsnummar 3132), umframt at vera grundarlag undir víðari lestri í generellari topologi og avanceraðari støddfrøðigreining.

Reellu tølini og supremumseginleikin. Avmyndingar og teirra eginleikar. Kontinuitet og markvirði hjá reellum funktiónum. Reel og kompleks talfylgi. Reellar og kompleksar rekkjur. Metrisk rúm. Normerað rúm. Konvergensur av fylgjum. Punktvísur og uniformur konvergensur av funktiónsfylgjum. Topologisk hugtøk fyri deilmongdum av metriskum rúmum: lokað mongd, opin mongd umframt lokanin, tað innara, tað ytra og rondin av eini mongd. Kontinuertar avmyndingar millum metrisk rúm. Lipschitz avmyndingar, isometriir og homeomorfiir. Deilrúm og produktrúm. Cauchy fylgi og fullstendigheit. Banach rúm. Fullstendiggerð. Kompaktar mongdir. Uniformur kontinuitetur. Høvuðssetningarnir um kompaktheit og yvirdekningssetningurin. Banachs fixpunktsetningur. Eksistens og eintýdni fyri fyrsta ordans differentiallíkningsskipanir.

Online videofyrilestrar, reglulig uppgávurokning, sjálvstøðugt arbeiði við uppgávum og verkætlan, vegleiðing, innlatingar av uppgávum.

Tá skeiðið er at enda komið, skal studenturin kunna: • Brúka supremum og infimum v.m. í einføldum próvførslum viðv. reellum tølum og funktiónum. • Gera einfaldar epsilon-delta próvførslur – í konkretum talrúmum og í abstraktum metriskum rúmum. • Brúka ymsar representatiónir av støddfrøðiligum hugtøkum innanfyri skeiðsins evni – herímillum: ◦ at brúka ymsar karakteriseringar av kontinuiteti av eini funktión í einføldum konkretum dømum og í abstraktum samanhangi. ◦ at brúka ymsar karakterisering av topologiskum hugtøkum fyri mongdir í konkretum dømum og einføldum abstraktum samanhangi. • Skifta – eftir tørvi – millum symbolnýtslu og málslig útrykk innan logikk, mongdarlæru og onnur evni í skeiðnum. • Eftirkanna definitiónir av støddfrøðiligum hugtøkum ella aksiom fyri givnar lutir og duga at brúka definitiónir og aksiom í konkretum dømum og einfaldum abstraktum støðum – t.d. aksiomini fyri metrikk og norm og definitiónir fyri konvergens, kontinuiteti, fullstendigheit og kompaktheit. • Brúka fylgi í sambandi við arbeiði við topologiskum hugtøkum fyri mongdir, kontinuitet, fullstendigheit og kompaktheit, og viðgera rekkjur sum dømi uppá fylgi. Vísa kunnleika til og arbeiða við standarddømum uppá metrisk rúm og normerað rúm – herímillum diskret metrisk rúm, vanligu talrúmini við ymsum normum, rúmið av (avmarkaðum) talfylgjum og funktiónsrúm við ymsum normum og metrikkum. • Avgera um konkretar funktiónir eru kontinuertar í konkretum dømum og einføldum abstraktum støðum. • Avgera um mongdir eru opnar ella lokaðar og kunna finna lokanina, tað innara, tað ytra og rondina í konkretum dømum og einføldum abstraktum støðum. • Eftirkanna og brúka uniforman kontinuitet í einfaldum konkretum dømum. • Eftirkanna og brúka uniforman konvergens í einfaldum konkretum dømum • Brúka Banachs fixpunktssetning uppá konkretar funktiónir, funktiónslíkningar og differentiallíkningsskipanir í einfaldum konkretum dømum. • Brúka eksistens- og eintýdnissetningar fyri differentiallíkningsskipanir í konkretum dømum. • Eftirkanna fullstendigheit í konkretum dømum. • Brúka fullstendigheit í konkretum dømum og abstraktum støðum. • Brúka høvuðssetningarnar viðv. kompaktheit í konkretum dømum og einfaldum abstraktum støðum • Skyna millum ymisk konvergenshugtøk fyri fylgi av funktiónum – herímillum punktvísan konvergens, uniforman konvergens og konvergens í mun til normar defineraðar við Riemann integralinum. • Seta seg inn í og skriva eina styttri verkætlan um eitt givið klassiskt evni, ið brúkar hugtøkini og úrslitini úr skeiðnum, við eini konkretari, nágreiniligari vegleiðing um framferð. Herímillum møguliga at kunna skilja evnið í einum søguligum og/ella filosofiskum konteksti. • Loysa, meta um og finna uppá støddfrøðiligar grundgevingar í sambandi við konkretar spurningar – og í hesum sambandi duga at orða seg við støddfrøðiligum stringensi.

Samansett próvdøming av eini skrivligari próvtøku, eini verkætlan, ið verður skrivað einsæris, og nøkrum innlatingum. Endurpróvtøka er 4 tíma skrivlig próvtøka og verkætlan – eftir ynski frá studentinum kann upprunaliga verkætlanin telja.

Uttanhýsis

7-talsstigin

Christian Berg: Metriske rum og notur.

Gunnar Restorff